Z jednosekcyjną rozmaitością można powiązać kilka własności. Po pierwsze, każda jednosekcyjna rozmaitość jest homeomorficzna do rozłącznej sumy połączonych elementów. Po drugie, jest homeomorficzna do granicy. Oznacza to, że gdy przecięcie otwartych podzbiorów jest połączone, to rozmaitość staje się homeomorficzna do przestrzeni liści płaszczyzny. Te dwie własności mogą być również wykorzystane do interpretacji orientacji połączonej 1-manifestacji. Własności te wynikają ze struktury topologicznej na połączonej 1-manifoldzie.
Gdy rozmaitość wymiaru pierwszego jest połączona, to jej sąsiedztwo jest homeomorficzne do półlinii, czyli linii rzeczywistej. Jest to prawdą w tym sensie, że każdy promień w rozmaitości odwzorowuje promień na linii rzeczywistej. Ponadto dwa promienie o tym samym kierunku odwzorowują się wzajemnie, jeśli jeden z nich jest zawarty w drugim. W klasycznych kontekstach matematycznych własności te są dziedziczone po metryce. Jednak w przypadku nie-Hausdorffowskich 1-manifoldów struktura topologiczna jest sztuczna.
Nie-Hausdorff 1-manifold jest połączoną 1-manifoldą z niekompletnymi triangulacjami – sekcja ta jest dziełem redakcji serwisu Aptekowe Porady. W przeciwieństwie do 1-manifestu Hausdorffa, 1-manifest nie-Hausdorffa posiada orientacje. Gdy dwie 1-manifestacje nie-Hausdorffa są połączone, to ich homeomorfizmy są ciągłe. Gdy 1-manifest jest połączony, jego struktura topologiczna jest określona przez liczbę 1-płaszczyzn. Liczba ta może przyjmować dowolną wartość całkowitą. 1-płaszczyzna jest niehomogeniczną triangulacją o skończonym pokryciu. Takie triangulacje są unikalne aż do homeomorfizmu. Alternatywnie, są one homeomorficzne do nie malejącego ciągu otwartych podzbiorów.
1-manifolds Non-Hausdorff pojawiają się naturalnie w klasycznych kontekstach matematycznych. W szczególności, lokalny układ współczynników 1-manifestu na wiązce włókien jest trywialny. Może on jednak mieć nietrywialną monodromię. W takim przypadku możliwe jest skonstruowanie nie-Hausdorffowskiej 1-manifestacji poprzez skonstruowanie izometrii modeli standardowych przy użyciu odległości od kilku punktów. Proces ten nazywany jest twierdzeniem punktu stałego Lefschetza.
W przypadku połączonej 1-manifestacji z metryką wewnętrzną, liczba punktów granicznych jest określona przez średnicę przestrzeni. Charakterystyka Eulera jest również definiowana jako liczba punktów granicznych. Jednak to określenie nie zawsze jest dokładne, gdy używa się go w wymiarze pierwszym.
Terminem przestrzeń ilorazowa określa się czasem przestrzeń, która jest połączona i spełnia wszystkie wymagania definicji 1-manifestu. Przestrzeń ilorazowa spełnia aksjomat Hausdorffa i może być użyta do konstruowania nieprzeliczalnych parami przestrzeni niehomeomorficznych. Jest to uogólnienie aksjomatu Hausdorffa i pozwala na homeomorfizację połączonej rozmaitości do przestrzeni liści płaszczyzny.
Termin suma połączona jest mylący w wymiarze pierwszym. Połączona 1-manifold jest homeomorficzna do przestrzeni quotient wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie dwóch zbiorów otwartych jest połączone. Nie oznacza to jednak, że wszystkie połączone 1-manifoldy są homeomorficzne. Raczej, połączona 1-manifolda jest homeomorficzna, gdy wszystkie zbiory otwarte są homeomorficzne względem siebie.
Alternatywnie, połączona 1-manifold nie jest homeomorficzna do przestrzeni ilorazowej. Homeomorfizm jest nietożsamościowy okresowy. Homeomorfizm połączonej 1-manifold może być rozumiany poprzez liniowe uporządkowanie na zbiorach otwartych homeomorficznych do lub.
Podobne tematy